బహుశా ఈ రోజు వర్షం పడవచ్చు.
ధరలు పెరిగే అవకాశం ఎక్కువగా ఉన్నది
నాకు ఖచ్చితంగా ప్రథమ శ్రేణి వస్తుంది .
నీవు కొన్న లాటరీ టికెట్టుకు బంపర్ బహుమతి రావడం
ఇవి జరగడానికి ఉన్న అవకాశం సంఖ్యత్మకంగా తెలుపగలమా?
నిత్య జీవితంలో మనం ఏదైనా ఒక విషయం జరిగే అవకాశాలను వ్యక్తీకరించుటకు
అధిక సంభవం, అసంభవం , అల్ప సంభవం లాంటి పదాలు ఉపయోగిస్తాము.
వాతావరణం హెచ్చరిక,
జనాభా విస్తరణ,
భూకంపములు గురుంచి ముందు హెచ్చరికలు,
పంటల దిగుబడి ,
ఎన్నికల ఓటింగ్ తర్వాత ఎగ్జిట్ పోల్ మొదలగు వాటిలో సంభావ్యత ఉపయోగిస్తారు.
సంభావ్యత
ఒక ఘటన సంభవము యొక్క ప్రమాణీకరణమును సంఖ్యాత్మకంగా తెలుపుటను సంభావ్యత అంటారు.
సాధారణ విచక్షణను గణనలోకి మార్చడమే సంభావ్యత ——పియరీ సైమన్ లాప్లాస్
యాదృశ్చిక ప్రయోగము మరియు పర్యవసానాలు
ఒక ప్రయోగంలో పర్యవసనాలన్ని (ఫలితాలు ) ముందే తెలిసినప్పటికి, ప్రయోగం చేసే సమయంలో ఏ ఫలితం ఏర్పడుతుందో ముందుగానే ఉహించాలేము. ఇటువంటి ప్రయోగాలనే యాదృచ్చిక ప్రయోగాలు అంటారు.
ఉదాహరణ :
నాణెమును ఎగురవేయటం,
పాచికను దోర్లించటం,
పేక కట్ట నుండి ముక్క తీయడం.
నాణేన్ని ఎగురవేసినప్పుడు ఏర్పడే రెండు పర్యవసానాలు బొమ్మా లేదా బొరుసు మాత్రమె
యాదృశ్చిక ప్రయోగము యొక్క పర్యవసానాలు ఏర్పడే అవకాశం సమసంభవం కావచ్చు, కాకపోవచ్చు
ఘటన:- శంపూల్ ఆవరణము ఏ ఉప సమితి అయినా ఘటన అంటారు.
ఒక నిష్పాక్షిక పాచికను దోర్లిన్చినప్పుడు సరి సంఖ్య గల ముఖం రావడం ఒక ఘటన.
సమ సంభవ ఘటనలు :- ఒక యాదృశ్చిక ప్రయోగములో రెండు లేక అంతకన్నా ఎక్కువ ఘటనలు సంభవించడానికి సమాన అవకాశాలు ఉంటె వాటిని సమ సంభవ ఘటనలు అంటారు.
ప్రాథమిక ఘటన :- ఒక ప్రయోగములో ఒక ఘటనకు అనుకూల పర్యవసానము ఒకటి మాత్రమే అయిన దానిని ప్రాథమిక ఘటన Elementary event ) అంటారు .
ఉదా :- ఒక నాణెమును ఎగురవేసినప్పుడు
బొమ్మ పడుటకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య=1
బొరుసు పడుటకు అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య=1
6 ముఖాలు గల పాచికను దోర్లించినపుడు శాంపూల్ ఆవరణం = {1, 2,3, 4 , 5, 6 }
పాచికను దోర్లించినపుడు ముఖంపై 1 రావడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య=1
ఒక ప్రయోగములో అన్ని ప్రాథమిక ఘటనల యొక్క సంభావ్యతల మొత్తం ఒకటి అవుతుంది .
పాచికను దోర్లించినపుడు ముఖంపై 3 కన్నా తక్కువ పడు ఘటనలు రావడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య=2
పాచికను దోర్లించినపుడు ముఖంపై 3 లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ పడు ఘటనలు రావడానికి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య=4
పాచికను దోర్లించినపుడు ముఖంపై 3 కన్నా తక్కువ పడు , 3 లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ పడు ఘటనలు ప్రాథమిక ఘటనలు కావు.
అనుకూల ఫలితము :- ప్రత్యేకమైననియమాలను తృప్తిపరిచే ఫలితమును అనుకూల ఫలితము (favourable Outcome) అంటారు.
సంభావ్యత రెండు రకాలు
1) ప్రాయోగిక సంభావ్యత
2) సైద్ధాంతిక లేదా సాంప్రదాయక సంభావ్యత
ప్రాయోగిక సంభావ్యత:-
ఒక నాణెమును 1000 సార్లు
ఎగురవేసినప్పుడు 455 సార్లు బొమ్మ , 445
సార్లు బొరుసు పడినది. బొమ్మ పడే సంభవాన్ని ప్రమానీకరణము చేస్తే 1000 కి
455 సార్లు అనగా
ప్రయోగాపూర్వక ఫలితాలను ఆధారం
చేసుకొని లెక్కించిన సంభావ్యతను ప్రాయోగిక సంభావ్యత Experimental Probability)
అంటారు.
ఈ ప్రాయోగిక సంభావ్యత అంచనాకు ఒక ప్రయోగము దాని
ఫలితాలు ఆధారము, అనగా ఇదే ప్రయోగాన్ని మరలా 1000 సార్లు చేసినప్పుడు ఇదే సంభావ్యత
ఏర్పడుతుందని చెప్పలేము .
ఒక ఘటన E యొక్క ప్రయోగిక
సంభావ్యత P(E) అనుకుంటే
సైద్ధాంతిక లేదా సాంప్రదాయక
సంభావ్యత:-
ప్రయోగం చేయకుండానే అన్ని పర్యవసానాలను బట్టి ఒక
ఘటన యొక్క సంభావ్యత అంచనా వేయుటను సైద్ధాంతిక సంభావ్యత (Theoretical Probability) లేదా సాంప్రదాయక
సంభావ్యత (Classical Probability ) అంటారు.
ఒక ఘటన E యొక్క సంభావ్యత సైద్ధాంతిక లేదా సాంప్రదాయక సంభావ్యత
P(T) అనుకుంటే
ఒక నాణెమును ఎగురవేసినప్పుడు బొమ్మపడే
ఘటన యొక్క సంభావ్యత
P(బొమ్మ)=½
పరస్పర వర్జిత ఘటనలు
ఒక నాణెమును ఎగురవేసినప్పుడు బొమ్మ
లేక బొరుసు పడుతుంది కానీ రెండూ ఒకేసారి సంభవము కాదు.
అదేవిధంగా ఉన్నత పాఠశాలలోని ఏ
విద్యార్థిని అయినా తీసుకొంటే అతడు 6,7,8,9, లేక 10 తరగతులలో ఎదో ఒక తరగతికి
మాత్రమె చెంది ఉంటాడు.
ఒక ప్రయోగంలోని రెండు లేక అంత కన్నా
ఎక్కువ ఘటనలలో ఒక ఘటన యొక్క సంభవము మిగిలిన అన్ని ఘటనల సంభవమును నిరోధిస్తే ఆ ఘటనలను పరస్పర వర్జిత
ఘటనలు అంటారు.
ఒక ఘటన యొక్క సంభావ్యత ఎల్లపుడు 0 నుండి
1 మధ్యలో ఉంటుంది
- నిశ్చితమైన ఘటన యొక్క సంభావ్యత = 1
- అసంభవం అయిన ఘటన యొక్క సంభావ్యత = 0
పూరక ఘటనలు- సంభావ్యత :-
ఒక ప్రయోగములో రెండు ఘటనలు E, F లు
ఆ రెండు ఘటనల సంభావ్యతల మొత్తం 1 అయితే ఘటన F మరియు E కానిది సమానములు .
E కానిది అను ఘటనను అని చూపుతాము . దీనిని ఘటన E యొక్క పూరక ఘటన అంటాము .
ఘటన E యొక్క సంభావ్యత P(E) అయితే పూరక ఘటన సంభావ్యత
అంటే