భిన్నం :-
మొత్తంలో కొంత భాగాన్ని భిన్నం అంటారు.
భిన్నం P/Q, P, Q ∈W, Q≠0 గల సంఖ్యలను భిన్నాలను అంటారు
అకరణీయ సంఖ్యలు
p/q, p, q ∈Z, q≠0 రూపంలో గల సంఖ్యలను అకరణీయ సంఖ్యలు అంటారు
ఏ రెండు వరుస పూర్ణ సంఖ్యల మధ్యన మరో పూర్ణ సంఖ్య ఉండదు . వరుసగా లేని ఏ రెండు వరుస పూర్ణ సంఖ్యల మధ్యనైనా ఏయో పూర్ణ సంఖ్యలున్నాయో చెప్పవచ్చు ఏ రెండు అకరణీయ సంఖ్యల మధ్యనైనా అనంతమైన అకరణీయ సంఖ్యలు ఉండును .దీనినే అకరణీయ సంఖ్యల సాంద్రత ధర్మం అంటారు .
అకరణీయ సంఖ్యల హారం ధన విలువ గా ఉండవలెను అకరణీయ సంఖ్యల లవం, హారం ల గ. సా. భా 1 అయిన అకరణీయ సంఖ్య కనిష్ట రూపం లో ఉంది అంటారు .
- అకరణీయ సంఖ్యలు సంకలనం ,వ్యవకలనం , గుణకారం దృష్ట్యా సంవృత ధర్మాన్ని పాటిస్తుంది. మరియు శూన్యేతర అకరణీయ సంఖ్యలు భాగహారం దృష్ట్యా సంవృత ధర్మాన్ని పాటిస్తుంది.
- అకరణీయ సంఖ్యలు సంకలనం , గుణకారం దృష్ట్యా సహచార ధర్మాన్ని పాటిస్తుంది
- అకరణీయ సంఖ్యలు సంకలనం , గుణకారం దృష్ట్యా వినిమయ (సిత్యంతర ధర్మాన్ని ) ధర్మాన్ని పాటిస్తుంది
- అకరణీయ సంఖ్యలు సంకలనం , గుణకారం దృష్ట్యా దృష్ట్యా తత్సమ ధర్మాన్ని పాటిస్తుంది
- సంకలన తత్సమం ‘0’ గుణకారం తత్సమం ‘1’
- అకరణీయ సంఖ్యలు సంకలనం , దృష్ట్యా విలోమ ధర్మాన్ని పాటిస్తాయి .
- a అనేది ఏదైనా పూర్ణ సంఖ్య అయిన a+(-a)=(-a)+a=0
- ఈ ధర్మాన్ని సంకలన విలోమ ధర్మం అంటారు
- సున్న కాని అకరణీయ సంఖ్యలు గుణకారం దృష్ట్యా విలోమ ధర్మాన్ని పాటిస్తాయి .
- a అనేది ఏదైనా అకరణీయ సంఖ్య అయిన a+0=0+a=a ఈ ధర్మాన్ని సంకలన తత్సమ ధర్మం అంటారు
- a అనేది ఏదైనా అకరణీయ సంఖ్య అయిన a×1=1×a=a ఈ ధర్మాన్ని గుణకార తత్సమ ధర్మం అంటారు
- a అనేది ఏదైనా అకరణీయ సంఖ్య అయిన a×0=0×a=0 (సున్న ధర్మం )
- a అనేది ఏదైనా అకరణీయ సంఖ్య అయిన a÷1=a
- శూన్యేతర అకరణీయ సంఖ్యలకు గుణకార విలోమం ఉండును .
- a అనేది ఏదైనా అకరణీయ సంఖ్య a+(-a)=(-a)+a=0
ఈ ధర్మాన్ని సంకలన విలోమ ధర్మం అంటారు
- a అనేది ఏదైనా అకరణీయ సంఖ్య a×1/a=1/a×a=1
ఈ ధర్మాన్నిగుణకార విలోమ ధర్మం అంటారు.
a కు సంకలన విలోమం= -a
- a కు గుణకార విలోమం =1/a (a≠0)
అకరణీయ సంఖ్యలు భిన్న రూపంలో ఉండవచ్చును లేదా దశాంశ సంఖ్యా రూపం లో ఉండవచ్చును .
- 10,100,1000 హారాలుగా గల భిన్నాలను దశాంశ భిన్నాలు అంటారు.
- కనిష్ఠ రూపంలో ఉండే అకరణీయ సంఖ్యా హారానికి 2, 5 తప్ప ఇతర కారణాంకాలు లేకుంటేఆ సంఖ్యలను అంతముగా దశాంశ సంఖ్యగా చూపవచ్చు
- ఒక అకరణీయ సంఖ్యను దశాంశ రూపంలో రాసిన తరువాత దశాంశ బిందువు తరువాత వచ్చే స్థానాలు పరిమితమైనవి అయితే అటువంటి దశాంశ సంఖ్యలను అంతమయ్యే దశాంశ సంఖ్యలు లేదా అనావర్త దశాంశ సంఖ్యలు అంటారు
- దశాంశ సంఖ్యలో ఒక అంకె గాని లేదా కొన్ని అంకెల సముదాయం గాని ఎడతెగకుండా పునరావృతమైతే అటువంటి సంఖ్యలను అంతం కాని అవర్తనం అయ్యే దశంశము అంటారు
- ప్రతి అకరణీయ సంఖ్యను అంతం అయ్యే దశాంశ సంఖ్య లేదా అంతం కాని ఆవర్తనం అయ్యే దశాంశ సంఖ్య గా రాయవచ్చు
- అంతం కాని ఆవర్తనం అయ్యే దశాంశ సంఖ్యలో ఆవర్తనం అయ్యే అంకెల గుంపును వ్యవధి అని, అందలి అంకెల సంఖ్యని అవధి అంటారు .
| 4/3=1.3 ̅ | 3/7=0.(428571) ̅ |
- అంతం కాని ఆవర్తనం అయ్యే దశాంశ సంఖ్యలను భిన్న రూపం లో రాయవచ్చు.